Fibonacciho
králíkárna
aneb dvacet let od objevu kvazikrystalů
Jan Fikar a Tomáš Kruml
Existuje řád bez
opakování?
Je příroda při stavbě pevných
látek omezena
na
materiály amorfní a krystalické? Anebo existuje
možnost uspořádat atomy na dlouhou vzdálenost pravidelně,
ale
neperiodicky? Odpověď
podal Leonardo Pisano – Fibonacci už v roce 1202 nalezením
zřejmě první
kvaziperiodické řady, přesto objev kvazikrystalických
materiálů na sebe nechal
čekat až do roku 1984.
Fibonacciho králíci
Fibonacci objevil svou slavnou řadu při řešení
problému zdánlivě beznadějně přízemního:
jak se rozmnožují nesmrtelní králíci. Dejme
tomu, že ve
Fibonacciho králíkárně existují
dospělé králičí páry (D) a mladé
králičí páry (M). Za jistou časovou periodu
mladé páry dospějí a dospělému páru
se narodí nový mladý pár, máme tedy
transformaci M→D a D→D+M. Na obrázku 1 je vidět, co se
stane po několika
prvních periodách.
Obrázek 1. Rozmnožování nesmrtelných
králíků.
Počet párů celkem, párů dospělých i párů
mladých tvoří tři vzájemně posunuté
Fibonacciho řady 1,1,2,3,5,8,13,21,34 atd., nás však nyní
více zajímá vytvořená sekvecne
DMDDMDMDDMDDM, která není ani náhodná, ani
periodicky uspořádaná. Je to sekvence kvaziperiodická, pro kterou
můžeme najít určité charakteristiky. Například, po
velkém množství period se podíl dospělých
párů a mladých párů blíží
iracionálnímu číslu tau = 1.61803398875..., ve
kterém milovníci umění rozpoznávají
slavný
zlatý řez. Pokud bychom měli kvaziperiodickou strukturu ve 2D
nebo 3D, objevily by se u ní navíc i rotační
symetrie.
Konstrukce
kvazistruktur pomocí hyperprostoru
Místo pěstování králíků
dávají krystalografové při konstrukci
kvazikrystalické mřížky přednost metodě projekce
vícerozměrného "hyperprostoru" do
méněrozměrného "reálného" světa. Zní
to hrozivě, ale je to docela jednoduché. Řekněmě, že náš
hyperprostor má 2 dimeze a máme v něm čtvercovou
mřížku (obrázek 2). Budeme jí raději říkat
hypermřížka, aby se nám nepletla s mřížkou
pozorovanou v reálném světě. V každém uzlu
hypermřížky je jeden atom.
Obrázek
2. Hyperprostor
(2D) a reálný svět E|| (1D).
Náš reálný svět je jednorozměrný a
leží podél osy E||. Můžeme v něm pozorovat jen ty atomy,
které jsou "dostatečně blízko". Toto "dostatečně
blízko" si můžeme představit třeba jako průměr jednoho atomu, na
obrázku 2 jsou to ty malé úsečky v každém
uzlovém bodě hypermřížky. Pokud má úsečka
průnik s osou E||,
atom vidíme, pokud ne, zůstává skrytý v
imaginárním hyperprostoru. V reálném světě
E|| na obrázku 2 pozorujeme, že atomy jsou rozmístěny
tak, že
se mezi nimi střídají dlouhé (L) a
krátké (S) úseky. Záleží jen na
úhlu mezi E|| a bázovými vektory
hypermřížky e,
bude-li sekvence S a L periodická nebo kvaziperiodická.
To je vidět na obrázku 3.
Obrázek
3. Různé
orientace reálného světa.
Vektor E|| je lineární kombinací
bázových vektoru e : E|| = a.e1 + b.e2 .Normálně
bychom E|| charakterizovali uspořádanou dvojicí (a, b),
teď se nám ovšem bude víc hodit podíl a/b. Je-li
a/b racionální číslo, tedy a a b jsou celá
čísla, dostaneme se při putování podél
reálného světa od počátku souřadnic po
určité době znovu do místa, kde E||
prochází přesně uzlovým bodem hypermřížky.
Vzdálenost tohoto bodu od počátku je
mřížkový parametr mřížky v reálném
světě, všechny atomy, které jsme během
putování od počátku potkali, tvoří tzv.
mřížkový motiv. Jestliže ovšem podíl a/b je
číslo iracionální - třeba tau -, E|| protne přesně
jen uzlový bod v počátku a už žádný
jiný a uspořádání atomů se nebude nikdy
přesně opakovat - dostáváme kvaziperiodickou strukutru.
Objev kvazikrystalů -
D. Shetchman, I. Blech, D. Gratias and J.W. Cahn; Physical Review
Letters 53 (1984), 1951
V citovaném článku autoři ukázali difrakční
obrazec se zdánlivou desetičetnou rotační
symetrií (obrázek 4, pečlivé
zkoumání ukáže, že symetrie je jen
pětičetná). U pravidelných krystalů jsou
přitom
povolené jen rotační symetrie 2, 3, 4 a 6.
Říká se, že Danny Shetchman prý své
snímky schovával nějakou dobu v zásuvce, než se s
nimi odvážil vyrukovat na veřejnost, protože usoudil, že asi
něco při experimentu zvoral. Možná kvůli tomuto momentu nebyli
autoři zatím oceněni Nobelovou cenou, i když na ni byli
několikrát navrženi.
Obrázek
4 Takovýto
difrakční obrazec nemůže existovat, učilo se ve školách
před rokem 1984.
Penrose kontra
toaletní papír
Důkaz, že se pětičetná symetrie nemůže vyskytovat u
periodických struktur, je velmi jednoduchý. Krystal
vzniká opakováním základní jednotky,
elementární buňky. Elementární buňkou ve
tvaru pravidelného pětiúhelníku (příklad
2D) ovšem není možné pokrýt plochu tak, abychom v
našem "krystalu" neměli díry. Penrose kolem roku 1970
ukázal, že
použitím 2 elementárních buněk a jejich
střídáním lze pokrýt celou plochu objekty s
pětičetnou symetrií, dostaneme ovšem kvaziperiodickou strukturu
(obrázek 5). Mimochodem, firma Kimberly-Clark Ltd. vyrobila
toaletní papír se vzrorem Penrosova pokrytí.
Vážený matematik a fyzik Sir Roger Penrose neváhal
a firmu ihned žaloval, neboť si tento a několik dalších
svých objevů patentoval... A co si tak patentovat čtvereček?
Obrázek 5 Penrosovo
pokrytí. Raději moc nešiřte.
Icosahedrální
kvazikrystaly
Jsou asi nejznámějším příkladem, tuto struktura
má např. rychle ochlazovaná slitina Al62-Cu25- Fe13 at.
%. Jejich vnější tvar může být buď icosahedron nebo
dodekahedron, dvě Platónská tělesa, která
mají shodou okolností stejné symetrie
(obrázek 6), např. celkem 6
pětičetných "zakázaných" rotačních os. Je
docela
překvapující, že ono
iracionální číslo, zakleté v
icosahedrální struktuře při jejím průmětu z
periodické hyperstruktury, je nám již známé
tau. Tau totiž můžeme vypočítat i jinak než
sčítáním králíků, je také
(mimo jiné) rovno 2cos(pí/5) a tak se
objevuje v případě pěti či desetičetné symetrie.
Číslo tau se používá při indexování
směrů a rovin icosahedrální mřížky, což už je
ovšem mimo rámec této statě.
Obrázek 6. Platónská tělesa. Dodekahedron a
icosahedron (podobně jako pětiúhelník ve 2D) nemohou
sloužit jako elementární buňka pro periodické
struktury.
Obrázek 7 Mono-kvazikrystal ve tvaru
dodekahedronu.
Dnešní stav
Během 20ti let od objevu prvního kvazikrystalického
materiálu byly objeveny už desítky kvazikrystalů. Je
zajímavé, že často nemají nijak exotické
složení (Al-Mn, Al-Cu-Fe, Ti2-Mn, Al4-Fe,...) a je proto
pravděpodobné, že s kvazikrystaly pracovali vědci nevědomky už
dávno před Shetchmanem. Existuje několik tříd
kvazikrystalů:
- Fibonacciho kvazikrystaly mají dvě osy periodické a
jednu kvaziperiodickou. Viděli jsme, že pro konstrukci
kvaziperiodické osy potřebujeme hyperprostor s dvěma dimenzemi,
na tyto kvazikrystaly se tedy dá dívat jako na objekty
periodické v 4D prostoru.
- existují kvazikrystaly se dvěma kvaziperiodickými osami
a jednou periodickou (příslušný hyperprostor je tedy 5D),
- a tzv. "perfect quasicrystals" (např. icosahderálni
kvazikrystaly) mají všechny osy kvaziperiodické a k
popsání pozice atomů v jejich mřížce musíme
využít 6 periodických os.
Velké nadšení, které kvazikrystaly mezi komunitou
materiálových vědců vyvolaly, však již do značné
míry opadlo. Ukazuje se, že kvazikrystaly nemají
žádnou výjimečnou využitelnou vlastnost a jejich aplikace
jsou zatím limitovány na několik spíše kuriozit,
jako například kvazikrystalické povlaky na pánve
(obrázek 8).
Obrázek 8. Pánve s obchodním názvem
Cybernox určené k pečení králíků nám
krásně celý článek uzavírají.
fikar(zavináč)physics.muni.cz,
Tomas.Kruml(zavináč)mines.inpl-nancy.fr
Odkazy:
objev kvazikrystalů : http://www.quasi.iastate.edu/discovery.html
jeden z mnoha odkazů na stránky o kvazikrystalech :
http://www.cmp.caltech.edu/%7Elifshitz/quasicrystals.html
Nádherná Botticelliho Venuše a zlatý řez :
http://facultystaff.vwc.edu/~trfanney/golden-mean-WOWslides/gm10.html
Penrose x toaletní papír :
http://www.law.gwu.edu/facweb/claw/penrose.htm
chcete pánvičku za 99.99 $?
http://www.cookswares.com/individual.asp?n=60103
Doktorská práce Jan Fikar : Al-Cu-Fe quasicrystalline
coatings and composites studied by mechanical spectroscopy
http://library.epfl.ch/theses/?display=detail&nr=2707