Fibonacciho králíkárna
aneb dvacet let od objevu kvazikrystalů

Jan Fikar a Tomáš Kruml

 

Existuje řád bez opakování?

Je příroda při stavbě pevných látek omezena na materiály amorfní a krystalické? Anebo existuje možnost uspořádat atomy na dlouhou vzdálenost pravidelně, ale neperiodicky? Odpověď podal Leonardo Pisano – Fibonacci už v roce 1202 nalezením zřejmě první kvaziperiodické řady, přesto objev kvazikrystalických materiálů na sebe nechal čekat až do roku 1984.

 

Fibonacciho králíci

Fibonacci objevil svou slavnou řadu při řešení problému zdánlivě beznadějně přízemního: jak se rozmnožují nesmrtelní králíci. Dejme tomu, že ve Fibonacciho králíkárně existují dospělé králičí páry (D) a mladé králičí páry (M). Za jistou časovou periodu mladé páry dospějí a dospělému páru se narodí nový mladý pár, máme tedy transformaci M→D a D→D+M. Na obrázku 1 je vidět, co se stane po několika prvních periodách.

kralici
Obrázek 1. Rozmnožování nesmrtelných králíků.

Počet párů celkem, párů dospělých i párů mladých tvoří tři vzájemně posunuté Fibonacciho řady 1,1,2,3,5,8,13,21,34 atd., nás však nyní více zajímá vytvořená sekvecne DMDDMDMDDMDDM, která není ani náhodná, ani periodicky uspořádaná. Je to sekvence kvaziperiodická, pro kterou můžeme najít určité charakteristiky. Například, po velkém množství period se podíl dospělých párů a mladých párů blíží iracionálnímu číslu tau = 1.61803398875..., ve kterém milovníci umění rozpoznávají slavný zlatý řez. Pokud bychom měli kvaziperiodickou strukturu ve 2D nebo 3D, objevily by se u ní navíc i rotační symetrie.

Konstrukce kvazistruktur pomocí hyperprostoru

Místo pěstování králíků dávají krystalografové při konstrukci kvazikrystalické mřížky přednost metodě projekce vícerozměrného "hyperprostoru" do  méněrozměrného "reálného" světa. Zní to hrozivě, ale je to docela jednoduché. Řekněmě, že náš hyperprostor má 2 dimeze a máme v něm čtvercovou mřížku (obrázek 2). Budeme jí raději říkat hypermřížka, aby se nám nepletla s mřížkou pozorovanou v reálném světě. V každém uzlu hypermřížky je jeden atom.

  projObrázek 2. Hyperprostor (2D) a reálný svět E|| (1D).

Náš reálný svět je jednorozměrný a leží podél osy E||. Můžeme v něm pozorovat jen ty atomy, které jsou "dostatečně blízko". Toto "dostatečně blízko" si můžeme představit třeba jako průměr jednoho atomu, na obrázku 2 jsou to ty malé úsečky v každém uzlovém bodě hypermřížky. Pokud má úsečka průnik s osou E||, atom vidíme, pokud ne, zůstává skrytý v imaginárním hyperprostoru. V reálném světě E|| na obrázku 2 pozorujeme, že atomy jsou rozmístěny tak, že se mezi nimi střídají dlouhé (L) a krátké (S) úseky. Záleží jen na úhlu mezi E|| a bázovými vektory hypermřížky e, bude-li sekvence S a L periodická nebo kvaziperiodická. To je vidět na obrázku 3.

  projbObrázek 3. Různé orientace reálného světa.

Vektor E|| je lineární kombinací bázových vektoru e : E|| = a.e1 + b.e2 .Normálně bychom E|| charakterizovali uspořádanou dvojicí (a, b), teď se nám ovšem bude víc hodit podíl a/b. Je-li a/b racionální číslo, tedy a a b jsou celá čísla, dostaneme se při putování podél reálného světa od počátku souřadnic po určité době znovu do místa, kde E|| prochází přesně uzlovým bodem hypermřížky. Vzdálenost tohoto bodu od počátku je mřížkový parametr mřížky v reálném světě, všechny atomy, které jsme během putování od počátku potkali, tvoří tzv. mřížkový motiv. Jestliže ovšem podíl a/b je číslo iracionální - třeba tau -, E|| protne přesně jen uzlový bod v počátku a už žádný jiný a uspořádání atomů se nebude nikdy přesně opakovat - dostáváme kvaziperiodickou strukutru.

Objev kvazikrystalů - D. Shetchman, I. Blech, D. Gratias and J.W. Cahn; Physical Review Letters 53 (1984), 1951
V citovaném článku autoři ukázali difrakční obrazec se zdánlivou desetičetnou rotační symetrií (obrázek 4, pečlivé zkoumání ukáže, že symetrie je jen pětičetná). U pravidelných krystalů jsou přitom povolené jen rotační symetrie 2, 3, 4 a 6. Říká se, že Danny Shetchman prý své snímky schovával nějakou dobu v zásuvce, než se s nimi odvážil vyrukovat na veřejnost, protože usoudil, že asi něco při experimentu zvoral. Možná kvůli tomuto momentu nebyli autoři zatím oceněni Nobelovou cenou, i když na ni byli několikrát navrženi.

  diffObrázek 4 Takovýto difrakční obrazec nemůže existovat, učilo se ve školách před rokem 1984.

Penrose kontra toaletní papír
Důkaz, že se pětičetná symetrie nemůže vyskytovat u periodických struktur, je velmi jednoduchý. Krystal vzniká opakováním základní jednotky, elementární buňky. Elementární buňkou ve tvaru pravidelného pětiúhelníku (příklad 2D) ovšem není možné pokrýt plochu tak, abychom v našem "krystalu" neměli díry. Penrose kolem roku 1970 ukázal, že použitím 2 elementárních buněk a jejich střídáním lze pokrýt celou plochu objekty s pětičetnou symetrií, dostaneme ovšem kvaziperiodickou strukturu (obrázek 5). Mimochodem, firma Kimberly-Clark Ltd. vyrobila toaletní papír se vzrorem Penrosova pokrytí. Vážený matematik a fyzik Sir Roger Penrose neváhal a firmu ihned žaloval, neboť si tento a několik dalších svých objevů patentoval... A co si tak patentovat čtvereček?

penroseObrázek 5 Penrosovo pokrytí. Raději moc nešiřte.

Icosahedrální kvazikrystaly
Jsou asi nejznámějším příkladem, tuto struktura má např. rychle ochlazovaná slitina Al62-Cu25- Fe13 at. %. Jejich vnější tvar může být buď icosahedron nebo dodekahedron, dvě Platónská tělesa, která mají shodou okolností stejné symetrie (obrázek 6), např. celkem 6 pětičetných "zakázaných" rotačních os. Je docela překvapující, že ono iracionální číslo, zakleté v icosahedrální struktuře při jejím průmětu z periodické hyperstruktury, je nám již známé tau. Tau totiž můžeme vypočítat i jinak než sčítáním králíků, je také (mimo jiné) rovno 2cos(pí/5) a tak se objevuje v případě pěti či desetičetné symetrie. Číslo tau se používá při indexování směrů a rovin icosahedrální mřížky, což už je ovšem mimo rámec této statě.

Platon

Obrázek 6. Platónská tělesa. Dodekahedron a icosahedron (podobně jako pětiúhelník ve 2D) nemohou sloužit jako elementární buňka pro periodické struktury.

icosah Obrázek 7 Mono-kvazikrystal ve tvaru dodekahedronu.

Dnešní stav
Během 20ti let od objevu prvního kvazikrystalického materiálu byly objeveny už desítky kvazikrystalů. Je zajímavé, že často nemají nijak exotické složení (Al-Mn, Al-Cu-Fe, Ti2-Mn, Al4-Fe,...) a je proto pravděpodobné, že s kvazikrystaly pracovali vědci nevědomky už dávno před Shetchmanem. Existuje několik tříd kvazikrystalů:
- Fibonacciho kvazikrystaly mají dvě osy periodické a jednu kvaziperiodickou. Viděli jsme, že pro konstrukci kvaziperiodické osy potřebujeme hyperprostor s dvěma dimenzemi, na tyto kvazikrystaly se tedy dá dívat jako na objekty periodické v 4D prostoru.
- existují kvazikrystaly se dvěma kvaziperiodickými osami a jednou periodickou (příslušný hyperprostor je tedy 5D),
- a tzv. "perfect quasicrystals" (např. icosahderálni kvazikrystaly) mají všechny osy kvaziperiodické a k popsání pozice atomů v jejich mřížce musíme využít 6 periodických os.

Velké nadšení, které kvazikrystaly mezi komunitou materiálových vědců vyvolaly, však již do značné míry opadlo. Ukazuje se, že kvazikrystaly nemají žádnou výjimečnou využitelnou vlastnost a jejich aplikace jsou zatím limitovány na několik spíše kuriozit, jako například kvazikrystalické povlaky na pánve (obrázek 8).

cyber Obrázek 8. Pánve s obchodním názvem Cybernox určené k pečení králíků nám krásně celý článek uzavírají.

fikar(zavináč)physics.muni.cz, Tomas.Kruml(zavináč)mines.inpl-nancy.fr

Odkazy:
objev kvazikrystalů : http://www.quasi.iastate.edu/discovery.html
jeden z mnoha odkazů na stránky o kvazikrystalech : http://www.cmp.caltech.edu/%7Elifshitz/quasicrystals.html
Nádherná Botticelliho Venuše a zlatý řez : http://facultystaff.vwc.edu/~trfanney/golden-mean-WOWslides/gm10.html
Penrose x toaletní papír : http://www.law.gwu.edu/facweb/claw/penrose.htm
chcete pánvičku za 99.99 $? http://www.cookswares.com/individual.asp?n=60103
Doktorská práce Jan Fikar : Al-Cu-Fe quasicrystalline coatings and composites studied by mechanical spectroscopy http://library.epfl.ch/theses/?display=detail&nr=2707